Question

已知函数f（x）=2sinx[a•sin（x+

π

2

）+

1

2

sinx]-

1

2

（x∈R）的图象关于直线x=

π

3

对称．求a的值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数

专题：三角函数的图像与性质

分析：将 函数进行化简，利用三角函数的图象和性质，以及辅助角公式即可得到结论．

解答： 解：f（x）=2sinx[a•sin（x+

π

2

）+

1

2

sinx]-

1

2

=2asinxcosx-

1

2

（1-2sin²x）=asin2x-

1

2

cos2x，
∵函数f（x）=2sinx[a•sin（x+

π

2

）+

1

2

sinx]-

1

2

（x∈R）的图象关于直线x=

π

3

对称，
∴当x=

π

3

时，函数f（x）取得最大值或最小值±

a2+(- 1 2 )2

，
即asin

2π

3

-

1

2

cos

2π

3

=±

a2+(- 1 2 )2

，
整理得4a²-4

3

a+3=0，
解得a=

3

2

．

点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式是解决本题的关键，考查学生的计算能力．