Question

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的焦点在x轴上，离心率为

5

3

，且经过点（0，2）．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）以椭圆的长轴为直径作圆O，设T为圆O上不在坐标轴上的任意一点，M为x轴上一点，过圆心O作直线TM的垂线交椭圆右准线于点Q．问：直线TQ能否与圆O总相切，如果能，求出点M的坐标；如果不能，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，由已知条件推导出b=2，e=

c

a

=

5

3

，由此能求出椭圆的标准方程．
（2）存在点M(

5

，0)，使得直线TQ与圆O总相切．设点T（x₀，y₀），M（c，0），由已知条件推导出x₀y₀≠0且x02+y02=9，直线OQ的方程为y=-

x0-c

y0

x，Q(

9 5

5

，-

9 5 (x0-c)

5y0

)，由此能推导出存在这样点M(

5

，0)，使得TQ与圆O总相切．

解答： 解：（1）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
∵椭圆经过点（0，2），∴b=2，
又∵离心率为

5

3

，∴e=

c

a

=

5

3

，可令c=

5

x，a=3x，
∴b²=a²-c²=4x²=4，解得x=1，
∴椭圆的标准方程为

x2

9

+

y2

4

=1．…（6分）
（2）存在点M(

5

，0)，使得直线TQ与圆O总相切．…（7分）
设点T（x₀，y₀），M（c，0），
∵T在以椭圆的长轴为直径作圆O上，且不在坐标轴上的任意点，
∴x₀y₀≠0且x02+y02=9，又∵kTM=

y0

x0-c

，
∴OQ⊥TM，∴kOQ=-

x0-c

y0

，
∴直线OQ的方程为y=-

x0-c

y0

x，…（10分）
∵点Q在直线x=

9 5

5

上，
令x=

9 5

5

，得y=-

9 5 (x0-c)

5y0

，
即Q(

9 5

5

，-

9 5 (x0-c)

5y0

)，…（12分）
∴kTQ=

y0+ 9 5 (x0-c) 5y0

x0- 9 5 5

=

5 y 2 0 +9 5 (x0-c)

y0(5x0-9 5 )

=

5(9-x02)+9 5 (x0-c)

y0(5x0-9 5 )

，
又∵kOT=

y0

x0

，TQ与圆O总相切，∴OT⊥TQ，
于是有k_OT•k_TQ=-1，kTQ=-

x   0

y0

，
即

5(9-x02)+9 5 (x0-c)

y0(5x0-9 5 )

=-

x0

y0

恒成立，解得c=

5

，
∴存在这样点M(

5

，0)，使得TQ与圆O总相切．…（16分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的点的判断与求法，解题时要认真审题，注意直线与椭圆的位置关系的灵活运用．