Question

（理）如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是圆内接四边形（记此圆为W），PA⊥平面ABCD，PA=BD=2，AD=CD=

3

．
（1）当AC是圆W的直径时，求证：平面PBC⊥平面PAB；
（2）当BD是圆W的直径时，求二面角A-PD-C的余弦值；
（3）在（2）的条件下，判断棱PA上是否存在一点Q，使得BQ∥平面PCD？若存在，求出AQ的长，若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,棱锥的结构特征,平面与平面垂直的判定

专题：计算题,证明题,存在型,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）应用面面垂直的判定定理，证得BC⊥平面PAB即可；
（2）过A作AK⊥平面PCD，垂足为K，过A在面PAD内，作AM⊥PD，连KD，则∠AMK为二面角A-PD-C的平面角，通过体积相等即V_P-ACD=V_A-PCD，求出AK，再在直角三角形PAD中求出AM，求出sin∠AMK，
从而得到cos∠AMK；
（3）假设棱PA上存在一点Q，使得BQ∥平面PCD，在面PAD内，过Q作QN∥PD，交AD于N，连接BN，由面面平行的性质定理得到BN∥CD，在直角△ABN中，求出AN，再在三角形PAD中，应用平行线分线段成比例，得到AQ，从而说明存在．

解答： （1）证明：∵AC是圆的直径，∴AB⊥CB，
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，
∴BC⊥平面PAB，
又BC?平面PBC，
∴平面PBC⊥平面PAB；
（2）解：过A作AK⊥平面PCD，垂足为K，
过A在面PAD内，作AM⊥PD，连KD，
则KD⊥PD，故∠AMK为二面角A-PD-C的平面角，
在直角三角形PAD中，PA=2，AD=

3

，PD=

7

，
AM=

2 3

7

，
设AK=d，则V_P-ACD=V_A-PCD，

1

3

PA•

1

2

•AD•S_△ACD=

1

3

AK•S_△PCD，
∵PA=BD=2，AD=CD=

3

，BD是圆W的直径，
∴△ABD为直角三角形，且∠ADB=30°，
△CBD为直角三角形，且∠CDB=30°，
∴△ACD为等边三角形，S_△ACD=

3 3

4

，
在直角三角形PAC中，PC=

4+3

=

7

，
∴S_△PCD=

1

2

•

3

•

7- 3 4

=

5 3

4

，
∴

1

3

•2•

3 3

4

=

1

3

•AK•

5 3

4

即AK=

6

5

，
又AM=

2 3

7

，sin∠AMK=

6 5

2 3 7

=

21

5

，
∴cos∠AMK=

2

5

；
（3）解：在（2）的条件下，假设棱PA上存在一点Q，使得BQ∥平面PCD，
在面PAD内，过Q作QN∥PD，交AD于N，连接BN，则QN∥平面PCD，
∴平面QBN∥平面PCD，BN∥CD，
∴在直角△ABN中，∠ANB=60°，AN=

3

3

，
∴在三角形PAD中，

AQ

AP

=

AN

AD

=

1

3

，
∴AQ=

2

3

．
∴在（2）的条件下，棱PA上存在一点Q，使得BQ∥平面PCD，且AQ=

2

3

．

点评：本题主要考查空间直线与平面的位置关系，考查面面平行、垂直的判定与性质，同时考查空间二面角的平面角的求法，是一道综合题．