Question

已知椭圆E：

x2

8

+

y2

4

=1与直线l：y=kx+m交于A，B两点，O为坐标原点．
（Ⅰ）若直线l经过椭圆E的左焦点，且k=1，求△AOB的面积；
（Ⅱ）若OA⊥OB，且直线l与圆O：x²+y²=r²相切，求圆O的半径r的值．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）若直线l经过椭圆E的左焦点，且k=1，可得直线的方程，代入椭圆E：

x2

8

+

y2

4

=1，求出交点坐标，即可求△AOB的面积；
（Ⅱ）直线l的方程与椭圆方程联立即可得到根与系数的关系，再利用OA⊥OB，可得x₁x₂+y₁y₂=0，从而可得3m²=8（1+k²），利用点到直线的距离公式即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）椭圆E的左焦点为（-2，0），k=1，代入y=kx+m，可得m=2
∴直线l：y=x+2
代入椭圆E：

x2

8

+

y2

4

=1，整理可得3x²+8x=0，
∴x=0或x=-

8

3

，
∴y=2或y=-

2

3

，
∴△AOB的面积S=

1

2

•2•(2+

2

3

)=

8

3

；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
直线l：y=kx+m，代入椭圆E：

x2

8

+

y2

4

=1，消去y得到（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0．
∴x₁+x₂=-

4km

1+2k2

，x₁x₂=

2m2-8

1+2k2

（*）
∵OA⊥OB，
∴x₁x₂+y₁y₂=0．
又y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m），
∴（1+k²）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=0．
把（*）代入可得3m²=8（1+k²），
∵直线l与圆O：x²+y²=r²相切，
∴∴点O到直线l的距离d=r=

|m|

1+k2

=

2 6

3

．

点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、向量垂直与数量积得关系、点到直线的距离公式等基础知识与基本技能，考查了推理能力和计算能力．