Question

在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0），已知点（1，e）和（e，

3

2

）都在椭圆C上，其中e为椭圆C的离心率．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=kx+m与椭圆C相交于P，Q两点，若在椭圆C上存在点R，使四边形OPRQ为平行四边形，求m的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出

1 a2 + c2 a2b2 =1 c2 a4 + 3 4b2 =1 c2=a2-b2

，由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），R（x_R，y_R），由已知条件推导出x₁+x₂=x_R，y₁+y₂=y_R，由点R在椭圆上，得到（1+2k²）（x₁+x₂）²+8km（x₁+x₂）+8m²=2，由

x2 2 +y2=1 y=kx+m

，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，由此利用根的判别式和韦达定理能求出m的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵点（1，e）和（e，

3

2

）都在椭圆C上，其中e为椭圆C的离心率，
∴

1

a2

+

e2

b2

=1，

e2

a2

+

3

4b2

=1，e=

c

a

，
∴

1 a2 + c2 a2b2 =1 c2 a4 + 3 4b2 =1 c2=a2-b2

，解得a²=2，b²=1，
∴椭圆C的方程为

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），R（x_R，y_R），
∵四边形OPRG为平行四边形，
∴线段PQ的中点即为线段OR的中点，
即x₁+x₂=x_R，y₁+y₂=y_R，
∵点R在椭圆上，
∴

(x1+x2)2

2

+(y1+y2)=1，
∴

(x1+x2)2

2

+[k(x1+x2)+2m]2=1，
化简，得（1+2k²）（x₁+x₂）²+8km（x₁+x₂）+8m²=2，①
由

x2 2 +y2=1 y=kx+m

，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
由△＞0，得2k²+1＞m²，②
又x1+x2=-

4km

1+2k2

，
代入①式，得

16(1+2k2)k2m2

(1+2k2)2

-

32k2m2

1+2k2

+8m2=2，
化简，得4m²=1+2k²，
代入②式，得m≠0，
又∵4m²=1+2k²≥1，
∴m≤-

1

2

，或m≥

1

2

．
∴m的取值范围为（-∞，-

1

2

]∪[

1

2

，+∞）．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意直线与椭圆的位置关系的综合运用．