Question

已知函数f（x）=2

3

sin（

x

2

+

π

4

）cos（

x

2

+

π

4

）-sin（x+π）．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若β∈（

π

2

，π），且f（β-

π

3

）=

10

5

，tan（α-β）=

1

2

，求tanα．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）先利用二倍角公式，诱导公式和两角和公式对函数解析式化简，进利用三角函数周期公式求得函数最小正周期．
（2）把x=β-

π

3

代入函数解析式，求得sinβ，根据β的范围求得tanβ，最后利用正切函数的两角和公式求得tanα．

解答： 解：f（x）=2

3

sin（

x

2

+

π

4

）cos（

x

2

+

π

4

）-sin（x+π）=

3

sin（x+

π

2

）+sinx
=

3

cosx+sinx=2sin（x+

π

3

），
（1）T=

2π

1

=2π，
（2）f（β-

π

3

）=2sinβ=

10

5

，
∴sinβ=

10

10

，
∵β∈（

π

2

，π），
∴tanβ=

1

3

，
∵tan（α-β）=

tanα-tanβ

1+tanα•tanβ

=

tanα- 1 3

1+ 1 3 tanα

=

1

2

，
∴tanα=1．

点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，两角和与差的正弦和正切公式，二倍角公式的应用以及诱导公式的应用．