Question

设双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，点M在双曲线C上，且|MF₁|-|MF₂|=2

2

，已知双曲线C的离心率为

2

．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）过双曲线C上一动点P向圆E：x²+（y-4）²=1作两条切线，切点分别为A，B，求

PA

•

PB

的最小值．

Answer 1

考点：双曲线的标准方程,向量在几何中的应用

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）根据题设条件由双曲线定义知a=

2

，e=

c

a

=

2

，由此能求出双曲线C的方程．
（Ⅱ）连AE，由题意知AE⊥AP，且|AE|=1．设|PE|=t，∠APB=2θ，则|PA|=|PB|=

t2-1

，sinθ=

|AE|

|PE|

=

1

t

，由此利用导数性质和圆的知识能求出

PA

•

PB

的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）∵双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，
点M在双曲线C上，且|MF₁|-|MF₂|=2

2

，
∴由双曲线定义知：a=

2

，
∵双曲线C的离心率为

2

，∴e=

c

a

=

2

，
解得c=2，∴b2=22-(

2

)2=2，
∴双曲线C的方程是

x2

2

-

y2

2

=1．…（4分）
（Ⅱ）连AE，则AE⊥AP，且|AE|=1．
设|PE|=t，∠APB=2θ，
则|PA|=|PB|=

t2-1

，sinθ=

|AE|

|PE|

=

1

t

．…（6分）
∴

PA

•

PB

=|

PA

|•|

PB

|cos2θ
=（t²-1）（1-2sin 2 θ）
=（t²-1）（1-

2

t2

）
=t2+

2

t2

-3．…（8分）
设点P（x，y），则x²-y²=2．又圆心E（0，4），
则t²=|PE|²=x²+（y-4）²
=（y²+2）+（y-4）²
=2y²-8y+18
=2（y-2）²+10≥10，…（10分）
设f（t）=t2+

2

t2

-3，则当t≥

10

时，f′(t)=2t-

4

t3

=

2(t4-2)

t3

＞0，
∴f（t）在[

10

，+∞）上是增函数，
∴f(t)min=f(

10

)=

36

5

，
∴

PA

•

PB

的最小值为

36

5

．…（13分）

点评：本题考查双曲线方程和数量积最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线的定义和导数性质的灵活运用．