Question

某学校对教师的年龄及学历状况进行调查，其结果（人数分布）如下表：

学历	35岁以下	35-50岁	50岁以上
本科	80	30	20
研究生	x	20	y

（Ⅰ）在35-50岁年龄段的教师中用分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人的学历为研究生的概率；
（Ⅱ）若对全体教师按年龄状况用分层抽样的方法抽取N个人，其中50岁以上的有10人，再从这N个人中随机抽取出1人，此人的年龄在50岁以上的概率为

5

39

，求N的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若抽取的N个人中35岁以下的有48人，求x和y的值．

Answer 1

考点：古典概型及其概率计算公式,分层抽样方法

专题：概率与统计

分析：（I）用分层抽样得到学历为本科的人数，后面的问题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从5个人中容易抽取2个，事件数可以列举出，满足条件的事件是至少有1人的学历为研究生，从列举出的事件中看出结果．
（II）根据在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，表示出年龄为50岁以上的概率，利用解方程思想解出x，y的值．

解答： 解：（Ⅰ）由表中信息，在35～50岁年龄段的教师中本科和研究生学历分别有30人和20人，用分层抽样的方法在35～50岁中抽取一个容量为5的样本，则被抽取到的5人中，3人的学历为本科，2人的学历为研究生．
分别记作A₁，A₂，A₃和B₁、B₂
从中任取2人的基本事件有：（A₁，B₁）、（A₁，B₂）、
（A₂，B₁）、（A₂，B₂）、（A₃，B₂）、（A₁，A₂）、（A₂，A₃）、（A₁，A₃）、（A₃，B₁）、（B₁，B₂），共10个
其中至少有1人的学历为研究生的基本事件有7个：（A₁，B₁）、（A₁，B₂）、
（A₂，B₁）、（A₂，B₂）、（A₃，B₂）、（A₃，B₁）、（B₁，B₂）∴至少有1人的学历为研究生的概率为

7

10

（Ⅱ）解：依题意，得

10

N

=

5

39

解得N=78
∵按年龄分层抽取78人，其中35岁以下的有48人，50岁以上的有10人．
∴

48

80+x

=

20

30+20

=

10

20+y

，解得x=40，y=5

点评：本题考查分层抽样方法，考查古典概型的概率及其概率公式，考查利用列举法列举出试验包含的所有事件，列举法是解决古典概型的首选方法．