Question

已知点D是△ABC边BC上的点，

BD

=2

DC

，过D分别作直线交AB，AC于E，F两点，若

AE

=λ

AB

，

AF

=μ

AC

（λ＞0，μ＞0），则λ+2μ的最小值是

 

．

Answer 1

考点：向量在几何中的应用,平行向量与共线向量

专题：平面向量及应用

分析：由已知可设

DE

=x

EF

，可得 

AD

=xμ

AC

+(1-x)λ

AB

，以及

AD

=

1

3

AB

+

2

3

AC

，从而可得λ，μ的关系，利用函数的导数即可求出最小值．

解答： 解：由D、E、F三点共线，可设

ED

=x

EF

∵

AE

=λ

AB

，

AF

=μ

AC

，（λ＞0，μ＞0），
∴

AD

=

AE

+

ED

=

AE

+x

EF

=

AE

+x（

AF

-

AE

）=x

AF

+（1-x）

AE

=xμ

AC

+(1-x)λ

AB

，
，∵

BD

=2

DC

，∴

AD

=

1

3

AB

+

2

3

AC

，
∴

xμ= 2 3 (1-x)λ= 1 3

∵λ＞0，μ＞0∴x∈（0，1）．
∴

λ= 1 3(1-x) μ= 2 x

∴λ+2μ=

1

3

(

12

x

+

1

1-x

)．令t=

1

3

(

12

x

+

1

1-x

)，
∴t′=

1

3

(-

12

x2

+

1

(1-x)2

)，令t′=0，解得：x=

12-2 3

11

，
∴当x=

12-2 3

11

时，λ+2μ取得最小值：

1

3

(

12

12-2 3 11

+

1

1- 12-2 3 11

)=5+

8 3

3

．
故答案为：5+

8 3

3

．

点评：本题主要考查了基本不等式在求解函数的最值中的应用，解题的关键是根据已知向量的知识寻求表达式的关系式是解题的关键．