Question

17．求函数y=$\frac{5{x}^{2}+9x+4}{{x}^{2}+1}$的值域．

Answer 1

分析 根据原函数解析式可以想到将原函数变成关于x的方程的形式：（y-5）x²-9x+y-4=0，根据方程有解即可求出原函数值域：要讨论y=5，和y≠5，y=5时显然可以，y≠5时，方程便是一元二次方程，从而根据△≥0即可得出y的范围，最后即可得出原函数值域．

解答 解：原函数变成：yx²+y=5x²+9x+4；
整理成关于x的方程，（y-5）x²-9x+y-4=0（1），方程有解；
①若y=5，此时满足上面方程有解；
②若y≠5，则方程（1）为一元二次方程，方程有解；
∴△=81-4（y-5）（y-4）≥0；
解得$\frac{9-\sqrt{82}}{2}≤y≤\frac{9+\sqrt{82}}{2}$；
∴原函数的值域为：$[\frac{9-\sqrt{82}}{2}，\frac{9+\sqrt{82}}{2}]$．

点评 考查形如$y=\frac{a{x}^{2}+bx+c}{d{x}^{2}+ex+f}$的函数的值域求法：将原函数变成关于x方程的形式，一元二次方程有解时判别式△的取值情况，要讨论y=5和y≠5两种情况．