Question

20．将长为l的铁丝剪成两段，分别围成长与宽之比为2：1及3：2的矩形，那么面积的和的最小值为$\frac{3}{104}{l^2}$．

Answer 1

分析 可设剪成2段中的其中一段长为xcm，则其围成矩形后的长、宽分别为$\frac{2x}{6}$，$\frac{x}{6}$；另一段长为（l-x）cm，则其围成矩形后的长、宽分别为$\frac{3（l-x）}{10}$，$\frac{2（l-x）}{10}$，依题意可得两矩形的面积之和，再利用函数的导数，求函数的极小值，且为最小值即可．

解答 解：设剪成2段中其中一段为xcm，另一段为（l-x）cm，
依题意知：S=S₁+S₂=$\frac{x}{6}$•$\frac{x}{3}$+$\frac{3（l-x）}{10}$•$\frac{l-x}{5}$
=$\frac{1}{18}$x²+$\frac{3}{50}$（l-x）²，0＜x＜l，
可得S′=$\frac{1}{9}$x-$\frac{3}{25}$（l-x），
令S′=0，则x=$\frac{27}{52}$l，
当$\frac{27}{52}$l＜x＜l时，S′＞0，函数s递增；
当0＜x＜$\frac{27}{52}$l，S′＜0，函数s递减．
则函数s在x=$\frac{27}{52}$l处取得极小值，且为最小值$\frac{3}{104}{l^2}$．
故答案为：$\frac{3}{104}{l^2}$．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意运用导数求函数的单调区间，可得函数的极值，且为最值，考查化简整理的运算能力，属于中档题．