Question

18．设数列{a_n}的前n项和为S_n，己知a₁═1，S_n+1=2S_n+n+1（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=$\frac{n}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$，数列{b_n}的前n项和为T_n，n∈N^*，求T_n．

Answer 1

分析 （1）由条件求得a₂=3，当n≥2时，将n换为n-1，两式相减可得a_n+1=2a_n+1，两边加1，由等比数列的通项公式即可得到所求通项；
（2）b_n=$\frac{（\;\;\;\;）}{（\;\;\;\;）}$n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理，即可得到所求和．

解答 解：（1）由a₁=1，S_n+1=2S_n+n+1①，可得
S₂=2S₁+2，即a₁+a₂=2a₁+2，解得a₂=3，
当n≥2时，S_n=2S_n-1+n②，
①-②，可得a_n+1=2a_n+1，
即有a_n+1+1=2（a_n+1），
可得a_n+1=（a₂+1）•2^n-2=2ⁿ，对n=1也成立，
则数列{a_n}的通项公式为a_n=2ⁿ-1（n∈N^*）；
（2）b_n=$\frac{n}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n+1}-1-（{2}^{n}-1）}$=$\frac{（\;\;\;\;）}{（\;\;\;\;）}$n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
T_n=1•（$\frac{1}{2}$）¹+2•（$\frac{1}{2}$）²+3•（$\frac{1}{2}$）³+…+n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
$\frac{1}{2}$T_n=1•（$\frac{1}{2}$）²+2•（$\frac{1}{2}$）³+3•（$\frac{1}{2}$）⁴+…+n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
两式相减可得，$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{2}$+（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{1}{2}$）³+…+（$\frac{1}{2}$）ⁿ-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹
=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
化简可得T_n=2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的通项与前n项和的关系，考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的求和方法：错位相减法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．