Question

如图，椭圆：（）和圆：，已知圆将椭圆的长轴三等分，且，椭圆的下顶点为，过坐标原点且与坐标轴不重合的任意直线与圆相交于点、．

（Ⅰ ）求椭圆的方程；

（Ⅱ ）若直线、分别与椭圆相交于另一个交点为点、． 

 ①   求证：直线经过一定点；  

 ② 试问：是否存在以为圆心，为半径的圆，使得直线和直线都与圆相交？若存在，请求出所有的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ ）依题意，，则，

∴，又，∴，则，

∴椭圆方程为．————————3分

（Ⅱ）①由题意知直线的斜率存在且不为0，设直线的斜率为，则：，

由得或

∴，————————5分

用去代，得，

方法1：，

∴：，即，——6分

∴直线经过定点．——————7分

方法2：作直线关于轴的对称直线，此时得到的点、关于轴对称，则与相交于轴，可知定点在轴上，

当时，，，此时直线经过轴上的点，

∵

∴，∴、、三点共线，即直线经过点，

综上所述，直线经过定点．

②由得或∴，

则直线：，

设，则，直线：，直线：，

假设存在圆心为，半径为的圆，使得直线和直线都与圆相交，

则由（）得对恒成立，则，

由（）得，对恒成立，

当时，不合题意；当时，，得，即，

∴存在圆心为，半径为的圆，使得直线和直线都与圆相交，所有的取值集合为．

解法二：圆，由上知过定点，故；又直线过原点，故，从而得．