Question

已知二次函数f（x）=x²+ax+b（a，b∈R）．
（Ⅰ）当a=-6时，函数f（x）定义域和值域都是[1，

b

2

]，求b的值；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，1）上与x轴有两个不同的交点，求b（1+a+b）的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）当a=-6时，函数f（x）=x²+ax-6图象的对称轴为直线x=3，结合二次函数的单调性，分当2＜b≤6时，当6＜b≤10时，当b＞10时，三种情况讨论满足条件的b值，最后综合讨论结果，可得答案．
（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，1）上与x轴有两个不同的交点，即函数f（x）=x²+ax+b的两个零点为x₁，x₂（0＜x₁＜x₂＜1），即f（0）=b=x₁x₂＞0，f（1）=1+a+b=（1-x₁）（1-x₂）＞0，进而结合基本不等式可得b（1+a+b）的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）当a=-6时，函数f（x）=x²-6x+b，其图象的对称轴为直线x=3，
故f（x）在区间[1，3]单调递减，在区间[3，+∞）单调递增．
①当2＜b≤6时，f（x）在区间[1，

b

2

]上单调递减；故

f(1)= b 2 f( b 2 )=1

，无解；
②当6＜b≤10时，f（x）在区间[1，3]上单调递减，[3，

b

2

]上单调递增，且f（1）≥f（

b

2

），故

f(1)= b 2 f(3)=1

，解得b=10；
③当b＞10时，f（x）在区间[1，3]上单调递减，[3，

b

2

]上单调递增，且f（1）＜f（

b

2

），故

f( b 2 )= b 2 f(3)=1

，无解．
综上所述，b的值为10．…（8分）
（Ⅱ）设函数f（x）=x²+ax+b的两个零点为x₁，x₂（0＜x₁＜x₂＜1），
则f（x）=（x-x₁）（x-x₂）．
又f（0）=b=x₁x₂＞0，f（1）=1+a+b=（1-x₁）（1-x₂）＞0
∴b（1+a+b）=f（0）f（1），
而0＜f（0）f（1）=x₁x₂（1-x₁）（1-x₂）≤

1

16

，
由x₁＜x₂，
故0＜f（0）f（1）＜

1

16

，
即b（1+a+b）的取值范围为（0，

1

16

）

点评：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，函数的零点，基本不等式，是函数图象和性质与不等式的综合应用，难度中档．