Question

已知函数f（x）=A（sin

x

2

cosφ+cos

x

2

sinφ）（A＞0，0＜φ＜π）的最大值是2，且f（0）=2．
（1）求φ的值；
（2）已知锐角△ABC的三个内角分别为A，B，C，若f（2A）=

6

5

，f（2B+π）=-

10

13

，求f（2C）的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）根据函数f（x）=A（sin

x

2

cosφ+cos

x

2

sinφ）（A＞0）的最大值是2，可得A值，进而根据f（0）=2，0＜φ＜π，可得φ的值；
（2）由（1）可知f(x)=2sin(

x

2

+

π

2

)=2cos

x

2

，进而根据f（2A）=

6

5

，f（2B+π）=-

10

13

，可得A，B的正弦值和余弦值，进而根据f（2C）=2cosC=2cos[π-（A+B）]=-cos（A+B）展开代入可得答案．

解答： 解：（1）∵函数f（x）的最大值是2，A＞0
∴A=2…（2分）
∵f（0）=2sinφ=2，
∴sinφ=1，
又∵0＜φ＜π
∴φ=

π

2

…（4分）
（2）由（1）可知f(x)=2sin(

x

2

+

π

2

)=2cos

x

2

…（6分）
f(2A)=2cosA=

6

5

，
∴cosA=

3

5

f(2B+π)=2cos

1

2

(2B+π)=2cos(B+

π

2

)=-2sinB=-

10

13

，
∴sinB=

5

13

…（8分）
∵A，B∈(0，

π

2

)
∴sinA=

1-cos2A

=

1-( 3 5 )2

=

4

5

，
cosB=

1-sin2B

=

1-( 5 13 )2

=

12

13

…（10分）
∴f（2C）=2cosC=2cos[π-（A+B）]=-cos（A+B）=-2（cosAcosB-sinAsinB）=-2(

3

5

×

12

13

-

4

5

×

5

13

)=-

32

65

…（12分）

点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，熟练掌握三角函数的图象和性质及变换公式是解答的关键．