Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a＞0），方程f（x）=x的两个根为x₁，x₂，满足0＜x₁＜x₂＜

1

a

，那么当x∈（0，x₁）时，x，f（x）与x₁的大小关系为（　　）

• A、f（x）＜x＜x₁
• B、f（x）＜x₁＜x
• C、x＜f（x）＜x₁
• D、x＜x₁＜f（x）

Answer 1

考点：函数的零点与方程根的关系,二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：构造函数F（x）=f（x）-x，当x∈（0，x₁）时，利用函数的性质推出x＜f （x），然后作差x₁-f（x），化简分析出f（x）＜x₁，即可．

解答： 解：令F（x）=f（x）-x．
∵x₁，x₂是方程f（x）-x=0的根，
∴F（x）=a（x-x₁）（x-x₂）．
当x∈（0，x₁）时，由于x₁＜x₂，得（x-x₁）（x-x₂）＞0，
又a＞0，得F（x）=a（x-x₁）（x-x₂）＞0，
即x＜f（x）．
x₁-f（x）=x₁-[x+F（x）]=x₁-x+a（x₁-x）（x-x₂）=（x₁-x）[1+a（x-x₂）]
∵0＜x₁＜x₂＜

1

a

，
∴x₁-x＞0，1+a（x-x₂）=1+ax-ax₂＞1-ax₂＞0．
得x₁-f（x）＞0．
由此得f（x）＜x₁．
综上x＜f（x）＜x₁，
故选：C

点评：本小题主要考查一元二次方程、二次函数和不等式的基础知识，考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力