Question

已知平面内的向量

OA

，

OB

满足：|

OA

|=2，（

OA

+

OB

）•（

OA

-

OB

）=0，且

OA

⊥

OB

，又

OP

=λ₁

OA

+λ₂

OB

，0≤λ₁≤1，1≤λ₂≤2，那么由满足条件的点P所组成的图形的面积是（　　）

• A、1
• B、2
• C、4
• D、8

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：由条件可得，|

OA

|=|

OB

|=2，不妨以O为原点，以OA方向为x轴正方向，以OB方向为Y轴正方向建立坐标系，则

OA

=（2，0），

OB

=（0，2），求得

OP

=（x，y）=（2λ₁，2λ₂），可得0＜x≤2，2≤y≤4，其表示的平面区域如图，从而求得阴影部分的面积．

解答： 解：∵|

OA

|=2，（

OA

+

OB

）•（

OA

-

OB

）=

OA

2-

OB

2=0，∴|

OA

|=|

OB

|=2．
根据

OA

⊥

OB

，不妨以O为原点，以OA方向为x轴正方向，以OB方向为Y轴正方向建立坐标系，
则

OA

=（2，0），

OB

=（0，2），
又

OP

=λ₁

OA

+λ₂

OB

，0≤λ₁≤1，1≤λ₂≤2，设

OP

=（x，y），则

OP

=（2λ₁，2λ₂），∴0≤x≤2，2≤y≤4，
其表示的平面区域如下图示：
由图可知阴影部分的面积为4，
故选：C．

点评：本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量坐标形式的运算，关键是正确地画出平面区域，然后结合有关面积公式求解，属于基础题．