Question

已知λ∈R，函数f（x）=

|x+1|，x＜0 lgx，x＞0

，g（x）=x²-4x+1+2λ，若关于x的方程f（g（x））=λ有6个解，则λ的取值范围为（　　）

• A、（0，

  1

  2

  ]
• B、（0，

  2

  3

  ）
• C、（

  1

  2

  ，1）
• D、（

  1

  2

  ，

  2

  3

  ）

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：数形结合,函数的性质及应用

分析：令g（x）=t，画出y=f（t）与y=λ的图象，则方程f（t）=λ的解有3个，由图象可得，0＜λ＜1．且三个解分别为t₁=-1-λ，t₂=-1+λ，t₃=10^λ再由g（x）=t，应用判别式大于0，分别求解，最后求交集即可．

解答： 解：令g（x）=t，则方程f（t）=λ的解有3个，由图象可得，0＜λ＜1．
且三个解分别为t₁=-1-λ，t₂=-1+λ，t₃=10^λ，
则x²-4x+1+2λ=-1-λ，x²-4x+1+2λ=-1+λ，
x²-4x+1+2λ=10^λ，均有两个不相等的实根，
则△₁＞0，且△₂＞0，且△₃＞0，
即16-4（2+3λ）＞0且16-4（2+λ）＞0，解得0＜λ＜

2

3

，
当0＜λ＜

2

3

时，△₃=16-4（1+2λ-10^λ）＞0即3-2λ+10^λ＞0恒成立，
故λ的取值范围为（0，

2

3

）．
故选：B．

点评：本题考查分段函数的应用，考查数形结合的思想方法，方程解的问题转化为函数图象的交点问题，由二次方程的判别式得到解决，本题有一定的难度．