Question

4．过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F的直线l依次交抛物线及其准线于点A、B、C，若|AF|=2，$\overrightarrow{CB}$=2$\overrightarrow{BF}$，则抛物线的方程为（　　）

• A． y²=x
• B． y²=2x
• C． y²=4x
• D． y²=8x

Answer 1

分析 分别过A、B作准线的垂线，利用抛物线定义将A、B到焦点的距离转化为到准线的距离，利用△BCD∽△FCG即可得p值，进而可得方程．

解答 解：分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D
由$\overrightarrow{CB}$=2$\overrightarrow{BF}$，可知：丨$\overrightarrow{CB}$丨=2丨$\overrightarrow{BF}$丨，设|BF|=a，则|BC|=2a，|BD|=a，
∴∠BCD=30°，
在直角三角形ACE中，
∵|AF|=2，|AC|=2+3a，
∴2|AE|=|AC|，
∴2+3a=4，即a=$\frac{2}{3}$，
|CF|=2，
∴sin∠BCD=$\frac{丨GF丨}{丨CF丨}$=$\frac{p}{2}$，解得p=1，
∴抛物线方程为y²=2x．
故选：B．

点评 本题考查抛物线的定义及其应用，抛物线的几何性质，过焦点的弦的弦长关系，转化化归的思想方法，属中档题．