Question

3．某厂生产某种新产品x件的总成本：C（x）=1200+$\frac{2}{75}$x³，又产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品的单价为50元，总利润最大时，产量应定为（　　）

• A． 25件
• B． 20件
• C． 15件
• D． 30件

Answer 1

分析 分析题目数据建立数学模型，得出总利润函数L（x）=$\frac{500}{\sqrt{x}}$•x-（1200+$\frac{2}{75}$x³）（x＞0），注意定义域，然后利用导数求其最值，还原为实际问题即可．

解答 解：解：设产品单价为p，则有p²=$\frac{k}{x}$，
将x=100，p=50代入，得k=250000，
所以p=p（x）=$\frac{500}{\sqrt{x}}$，
设总利润为L，L=L（x）=p（x）-c（x）=$\frac{500}{\sqrt{x}}$•x-（1200+$\frac{2}{75}$x³）（x＞0），
即L（x）=$\frac{500}{\sqrt{x}}$•x-1200-$\frac{2}{75}$x³，L'（x）=$\frac{250}{\sqrt{x}}$-$\frac{2{x}^{2}}{25}$，
令L'（x）=0，即$\frac{250}{\sqrt{x}}$-$\frac{2{x}^{2}}{25}$=0，解得x=25，
因为x=25是函数L（x）在（0，+∞）上唯一的极值点，
且是极大值点，从而是最大值点．
故选：A．

点评 本题考查利用导数解决生活中的优化问题的方法和步骤，属于中档题．