Question

在等比数列{a_n}中,a₂a₃=32,a₅=32.
(1)求数列{a_n}的通项公式;
(2)设数列{a_n}的前n项和为S_n,求S₁+2S₂+…+nS_n.

Answer 1

(1) a_n=2ⁿ     (2) (n-1)2ⁿ⁺²+4-n(n+1)

解:(1)设等比数列{a_n}的首项为a₁,公比为q,依题意得

解得a₁=2,q=2,
∴a_n=2·2^n-1=2ⁿ.
(2)∵S_n表示数列{a_n}的前n项和,
∴S_n==2(2ⁿ-1),
∴S₁+2S₂+…+nS_n=2[(2+2·2²+…+n·2ⁿ)-(1+2+…+n)]=2(2+2·2²+…+n·2ⁿ)-n(n+1),
设T_n=2+2·2²+…+n·2ⁿ①
则2T_n=2²+2·2³+…+n·2ⁿ⁺¹②
①-②,得-T_n=2+2²+…+2ⁿ-n·2ⁿ⁺¹
=-n·2ⁿ⁺¹
=(1-n)2ⁿ⁺¹-2,
∴T_n=(n-1)2ⁿ⁺¹+2,
∴S₁+2S₂+…+nS_n=2[(n-1)2ⁿ⁺¹+2]-n(n+1)
=(n-1)2ⁿ⁺²+4-n(n+1).