Question

16．如图，在三棱锥D-ABC中，$AC=BC=1，CD=AB=\sqrt{2}，AD=BD=\sqrt{3}$，若该三棱锥的四个顶点均在同一球面上，则该球的体积为（　　）

• A． $\frac{32π}{3}$
• B． 4π
• C． 2π
• D． $\frac{4π}{3}$

Answer 1

分析 利用已知条件说明三棱锥是长方体的一个角，扩展几何体为长方体，求出外接球的半径，然后求解球的体积．

解答 解：在三棱锥D-ABC中，$AC=BC=1，CD=AB=\sqrt{2}，AD=BD=\sqrt{3}$，
可得AC⊥BC，AC⊥CD，CD⊥CB，则C-ABD三棱锥看作是长方体的一个角，三棱锥的外接球计算长方体的外接球，
外接球的半径为：$\frac{1}{2}\sqrt{1+2+1}$=1．
外接球的体积为：$\frac{4π}{3}×{1}^{3}$=$\frac{4π}{3}$．
故选：D．

点评 本题考查三棱锥的外接球的体积的求法，考查空间想象能力以及最后思想计算能力．