Question

【题目】已知函数，其中．

（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；

（Ⅱ）设，求证：；

（Ⅲ）若对于恒成立，求的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）函数的单调增区间为，单调减区间为；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）.

【解析】

（Ⅰ）利用二次求导可得，所以在上为增函数，进而可得函数的单调增区间为，单调减区间为；（Ⅱ）利用导数可得在区间上存在唯一零点，所以函数在递减，在，递增，则，进而可证；（Ⅲ）条件等价于对于恒成立，构造函数，利用导数可得的单调性，即可得到的最小值为，再次构造函数（a），，利用导数得其单调区间，进而求得最大值．

（Ⅰ）当时，，

则，所以，

又因为，所以在上为增函数，

因为，所以当时，，为增函数，

当时，，为减函数，

即函数的单调增区间为，单调减区间为；

（Ⅱ），

则令，则（1），，

所以在区间上存在唯一零点，

设零点为，则，且，

当时，，当，，，

所以函数在递减，在，递增，

，

由，得，所以，

由于，，从而；

（Ⅲ）因为对于恒成立，即对于恒成立，

不妨令，

因为，，

所以的解为，

则当时，，为增函数，

当时，，为减函数，

所以的最小值为，

则，

不妨令（a），，

则（a），解得，

所以当时，（a），（a）为增函数，

当时，（a），（a）为减函数，

所以（a）的最大值为，

则的最大值为．