Question

【题目】已知函数，其中为正实数.

讨论函数的单调性；

若存在，使得不等式成立，求的取值范围.

Answer 1

【答案】当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增；.

【解析】

由题意可知的定义域为，， 令，得，，分类讨论，，时导函数的正负来判断函数的单调性；

若存在，使得不等式成立，则时，.由可知，当，即时，函数在区间上单调递增，；当，即时，由知在区间上单调递减，在区间上单调递增，，当，即时，函数在区间上单调递减，，不成立，进而得出结论.

解：的定义域为.

.

令，得，.

当时，即时，

令，得，或；

令，得，

故在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增.

当时，即时，恒成立，故在区间上单调递增

当时，即时，令，得，或；

令，得，故在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增.

综上所述：当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增；

当时，在区间上单调递增；

当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增.

若存在，

使得不等式成立，

则时，.

由可知，当，即时，函数在区间上单调递增，

，解得，

；

当，即时，

由知在区间上单调递减，在区间上单调递增，

.

令，

，

则，

函数在区间上单调递增.

恒成立，.

当，即时，

函数在区间上单调递减，

，不成立.

综上所述，的取值范围是.