Question

已知点E、F分别是正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱AB、AA₁的中点，点M、N分别是线段D₁E与C₁F上的点，则满足与平面ABCD平行的直线MN有（　　）

• A、0条
• B、1条
• C、2条
• D、无数条

Answer 1

考点：空间中直线与平面之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离

分析：取BB₁的中点H，连接FH，在D₁E上任取一点M，过M在面D₁HE中，作MG平行于HO，其中O为线段D₁E的中点，交D₁H于G，再过G作GN∥FH，交C₁F于N，连接MN，根据线面平行的判定定理，得到GM∥平面ABCD，NG∥平面ABCD，再根据面面平行的判断定理得到平面MNG∥平面ABCD，由面面平行的性质得到则MN∥平面ABCD，由于M是任意的，故MN有无数条．

解答： 解：取BB₁的中点H，连接FH，则FH∥C₁D，
连接HE，在D₁E上任取一点M，
过M在面D₁HE中，作MG平行于HO，
其中O为线段D₁E的中点，交D₁H于G，
再过G作GN∥FH，交C₁F于N，连接MN，
O在平面ABCD的正投影为K，连接KB，则OH∥KB，
由于GM∥HO，HO∥KB，KB?平面ABCD，
GM?平面ABCD，
所以GM∥平面ABCD，
同理由NG∥FH，可推得NG∥平面ABCD，
由面面平行的判定定理得，平面MNG∥平面ABCD，
则MN∥平面ABCD．
由于M为D₁E上任一点，故这样的直线MN有无数条．
故选：D．

点评：本题考查空间直线与平面的位置关系，主要是直线与平面平行的判断和面面平行的判定与性质，考查空间想象能力和简单推理能力．