Question

如图，F是中心在原点、焦点在x轴上的椭圆C的右焦点，直线l：x＝4是椭圆C的右准线，F到直线l的距离等于3．

（1）求椭圆C的方程；

（2）点P是椭圆C上动点，PM⊥l，垂足为M．是否存在点P，使得△FPM为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

 

 

Answer 1

（1）；（2）P(，±).

【解析】

试题分析：（1）求椭圆标准方程，一般利用待定系数法，利用两个独立条件确定a,b的值. 设椭圆C的方程为，由已知，得，∴∴b＝．所以椭圆C的方程为．（2）等腰三角形这个条件，是不确定的，首先需要确定腰. 由＝e＝，得PF＝PM．∴PF≠PM．若PF＝FM，则PF＋FM＝PM，与“三角形两边之和大于第三边”矛盾，∴PF不可能与FM相等．因此只有FM＝PM，然后结合点在椭圆上条件进行列方程求【解析】
设P(x，y)(x≠±2)，则M(4，y)．∴＝4－x，

∴9＋y2＝16－8x＋x2，又由，得y2＝3－x2．∴9＋3－x2＝16－8x＋x2，∴x2－8x＋4＝0．∴7x2－32x＋16＝0．∴x＝或x＝4．∵x∈(－2，2)，∴x＝．∴P(，±)．综上，存在点P(，±)，使得△PFM为等腰三角形．

试题解析：【解析】
（1）设椭圆C的方程为

由已知，得，∴，∴b＝．所以椭圆C的方程为

（2）由＝e＝，得PF＝PM．∴PF≠PM．

①若PF＝FM，则PF＋FM＝PM，与“三角形两边之和大于第三边”矛盾，

∴PF不可能与FM 相等．

②若FM＝PM，设P(x，y)(x≠±2)，则M(4，y)．∴＝4－x，

∴9＋y2＝16－8x＋x2，又由，得y2＝3－x2．∴9＋3－x2＝16－8x＋x2，

∴x2－8x＋4＝0．∴7x2－32x＋16＝0．∴x＝或x＝4．∵x∈(－2，2)，∴x＝．

∴P(，±)．综上，存在点P(，±)，使得△PFM为等腰三角形．

考点：椭圆方程，椭圆第二定义