【题目】(本小题满分12分) 已知中心在原点,焦点在轴上的椭圆C的离心率为
,且经过点
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)是否存在过点的直线
与椭圆C相交于不同的两点
,满足
?若存在,求出直线
的方程;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
试题分析:(1)设椭圆的方程,若焦点明确,设椭圆的标准方程,结合条件用待定系数法求出的值,若不明确,需分焦点在
轴和
轴上两种情况讨论;(2)解决直线和椭圆的综合问题时注意:第一步:根据题意设直线方程,有的题设条件已知点,而斜率未知;有的题设条件已知斜率,点不定,可由点斜式设直线方程.第二步:联立方程:把所设直线方程与椭圆的方程联立,消去一个元,得到一个一元二次方程.第三步:求解判别式
:计算一元二次方程根.第四步:写出根与系数的关系.第五步:根据题设条件求解问题中结论.
试题解析:(1)设椭圆C的方程为, 2分
由题意得 4分
解得a2=4,b2=3.故椭圆C的方程为. 6分
(2)假设存在直线l1且由题意得斜率存在,设满足条件的方程为y=k1(x-2)+1,
代入椭圆C的方程得,(3+4)x2-8k1(2k1-1)x+16
-16k1-8=0. 7分
因为直线l1与椭圆C相交于不同的两点A,B,
设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
所以Δ=[-8k1(2k1-1)]2-4(3+4)·(16
-16k1-8)=32(6k1+3)>0,所以k1>
. 8分
又x1+x2=,x1x2=
, 9分
因为,
即(x1-2)(x2-2)+(y1-1)(y2-1)=,所以(x1-2)(x2-2)(
)=2=
.
即[x1x2-2(x1+x2)+4](1+)=
.
所以, 10分
解得k1=±.因为k1>-
,所以k1=
.于是存在直线l1满足条件,其方程为y=
x. 12分
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【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为
,左、右顶点分别为
为直径的圆O过椭圆E的上顶点D,直线DB与圆O相交得到的弦长为
.设点
,连接PA交椭圆于点C.
(I)求椭圆E的方程;
(II)若三角形ABC的面积不大于四边形OBPC的面积,求t的最小值.
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【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC=2,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.
(1)证明 PA∥平面EDB;
(2)证明PB⊥平面EFD;
(3)求VB﹣EFD .
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【题目】已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增,若实数a满足f(lga)+f(lg )≤2f(1),则a的取值范围是( )
A.(﹣∞,10]
B.[ ,10]
C.(0,10]
D.[ ,1]
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【题目】一个多面体的直观图和三视图如图,M是A1B的中点,N是棱B1C1上的任意一点(含顶点).
①当点N是棱B1C1的中点时,MN∥平面ACC1A1;
②MN⊥A1C;
③三棱锥N﹣A1BC的体积为VN﹣A BC=
a3;
④点M是该多面体外接球的球心.
其中正确的是 .
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【题目】已知命题p:方程 =1表示焦点在y轴上的椭圆;命题q:双曲线
﹣
=1的离心率e∈(1,2).若命题p、q有且只有一个为真,求m的取值范围.
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