Question

【题目】（本小题满分12分） 已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆C的离心率为，且经过点．

（1）求椭圆C的方程；

（2）是否存在过点的直线与椭圆C相交于不同的两点，满足?若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）设椭圆的方程，若焦点明确，设椭圆的标准方程，结合条件用待定系数法求出的值，若不明确，需分焦点在轴和轴上两种情况讨论；（2）解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程．第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程．第三步：求解判别式：计算一元二次方程根．第四步：写出根与系数的关系．第五步：根据题设条件求解问题中结论．

试题解析：（1）设椭圆C的方程为， 2分

由题意得 4分

解得a2＝4，b2＝3．故椭圆C的方程为． 6分

（2）假设存在直线l1且由题意得斜率存在，设满足条件的方程为y＝k1（x－2）＋1，

代入椭圆C的方程得，（3＋4）x2－8k1（2k1－1）x＋16－16k1－8＝0． 7分

因为直线l1与椭圆C相交于不同的两点A，B，

设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），

所以Δ＝[－8k1（2k1－1）]2－4（3＋4）·（16－16k1－8）＝32（6k1＋3）>0，所以k1>． 8分

又x1＋x2＝，x1x2＝， 9分

因为，

即（x1－2）（x2－2）＋（y1－1）（y2－1）＝，所以（x1－2）（x2－2）（1＋）＝2＝．

即[x1x2－2（x1＋x2）＋4]（1＋）＝．

所以， 10分

解得k1＝±．因为k1>－，所以k1＝．于是存在直线l1满足条件，其方程为y＝x． 12分