Question

【题目】定义域为{x|x≠0}的函数f（x）满足：f（xy）=f（x）f（y），f（x）＞0且在区间（0，+∞）上单调递增，若m满足f（log3m）+f（ ）≤2f（1），则实数m的取值范围是（ ）
A.[ ，1）∪（1，3]
B.[0， ）∪（1，3]
C.（0， ]
D.[1，3]

Answer 1

【答案】A
【解析】解：∵f（xy）=f（x）f（y），f（x）＞0则令x=y=1可得f（1）=f2（1），即有f（1）=1．
令x=y=﹣1，则f（1）=f2（﹣1）=1，则f（﹣1）=1．
令y=﹣1，则f（﹣x）=f（x）f（﹣1）=f（x），即有f（x）为偶函数．
由f（log3m）+f（ ）≤2f（1），可得 f（log3m）+f（﹣log3m）≤2f（1），
即2f（log3m）≤2f（1），即 f（|log3m|）≤f（1），
由于f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，则|log3m|≤1，且log3m≠0，
解得 ≤m＜1或1＜m≤3．
故选：A．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用函数单调性的性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集．