Question

11．说出函数y=-$\frac{1}{2}$sin（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{4}$）的定义域、最小正周期、最大值、最小值、单调区间、与x轴的交点坐标以及函数值大于0、小于0的区间．

Answer 1

分析 由条件利用正弦函数的图象和性质，得出结论．

解答 解：对于函数y=-$\frac{1}{2}$sin（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{4}$），
由于$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{4}$∈R，可得x∈R，∴它的定义域为R；
它的最小正周期为$\frac{2π}{\frac{1}{2}}$=4π；
根据正弦函数的有界性，可得它的最大值为$\frac{1}{2}$、最小值为-$\frac{1}{2}$；
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得4kπ-$\frac{π}{2}$≤x≤4kπ+$\frac{3π}{2}$，可得函数的减区间为[4kπ-$\frac{π}{2}$，4kπ+$\frac{3π}{2}$]，k∈Z，
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{4}$≤2kπ+3•$\frac{π}{2}$，求得4kπ+$\frac{3π}{2}$≤x≤4kπ+$\frac{3π}{2}$，可得函数的增区间为[4kπ+$\frac{3π}{2}$，4kπ+$\frac{7π}{2}$]，k∈Z；
令$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{4}$=kπ，求得x=2kπ+$\frac{π}{2}$，可得函数图象与x轴的交点坐标为（2kπ+$\frac{π}{2}$，0）；
令2kπ＜$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{4}$＜2kπ+π，求得4kπ+$\frac{π}{2}$＜x＜4kπ+$\frac{5π}{2}$，可得函数的小于0的区间为（4kπ+$\frac{π}{2}$，4kπ+$\frac{5π}{2}$），k∈Z，
令2kπ+π＜$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{4}$＜2kπ+2π，求得4kπ+$\frac{5π}{2}$＜x＜4kπ+$\frac{9π}{2}$，可得函数的大于0的区间为（4kπ+$\frac{5π}{2}$，4kπ+$\frac{9π}{2}$），k∈Z．

点评 本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．