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    如图，在△ABC中，∠B＝90°，以AB为直径的圆O交AC于D，过点D作圆O的切线交BC于E，AE交圆O于点F.求证：

    (1) E是BC的中点；

    (2) AD·AC＝AE·AF.


    证明：(1) 连结BD，因为AB为圆O的直径，所以BD⊥AC.又∠B＝90°，所以CB切圆O于点B且ED切圆O于点D，因此EB＝ED，所以∠EBD＝∠EDB，∠CDE＋∠EDB＝90°＝∠EBD＋∠C，所以∠CDE＝∠C，得ED＝EC，因此EB＝EC，即E是BC的中点．

    (2) 连结BF，显然BF是Rt△ABE斜边上的高，可得△ABE∽△AFB，于是有＝，

    即AB2＝AE·AF，同理可得AB2＝AD·AC，

    所以AD·AC＝AE·AF.


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