Question

4．已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，且a²+b²=c²+ab，4sinAsinB=3，则tan$\frac{A}{2}$+tan$\frac{B}{2}$+tan$\frac{C}{2}$=$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 运用余弦定理，可得C=60°，设A=60°-α，C=60°+α，代入化简整理可得A=B=60°，即可得到所求．

解答 解：a²+b²=c²+ab，
即为a²+b²-c²=ab，
cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{1}{2}$，
由C为三角形的内角，则C=60°，
设A=60°-α，B=60°+α，
则4sinAsinB=3，即为sin（60°-α）sin（60°+α）=$\frac{3}{4}$，
即有（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosα-$\frac{1}{2}$sinα）（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosα+$\frac{1}{2}$sinα）=$\frac{3}{4}$，
即$\frac{3}{4}$cos²α-$\frac{1}{4}$sin²α=$\frac{3}{4}$，即$\frac{3}{4}$-sin²α=$\frac{3}{4}$，
解得sinα=0，（-60°＜α＜60°），
即有α=0°，
则A=B=60°，
则tan$\frac{A}{2}$+tan$\frac{B}{2}$+tan$\frac{C}{2}$=3tan30°=$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题考查余弦定理的运用，三角函数的化简和求值，考查运算能力，属于中档题．