Question

8．在等差数列{a_n}中，a₃+a₄+a₅+a₆+a₇=450．
（1）求a₁+a₉、a₂+a₈，并比较二者的大小；
（2）根据（1）的结论，写出一个可能成立的等式，并证明之．

Answer 1

分析 （1）由题意和等差数列的性质易得a₁+a₉=a₂+a₈=2a₅=180；
（2）根据（1）的结论可得：若m+n=p+q，则a_m+a_n=a_p+a_q，其中mnpq为正整数，由等差数列的通项公式可证．

解答 解：（1）∵在等差数列{a_n}中a₃+a₄+a₅+a₆+a₇=450，
∴a₃+a₄+a₅+a₆+a₇=5a₅=450，解得a₅=90，
∴a₁+a₉=a₂+a₈=2a₅=180；
（2）根据（1）的结论可得：若m+n=p+q，则a_m+a_n=a_p+a_q，其中m、n、p、q为正整数，
证明：设在等差数列{a_n}的公差为d，
则a_m+a_n=a₁+（m-1）d+a₁+（n-1）d=2a₁+（m+n-2）d，
a_p+a_q=a₁+（p-1）d+a₁+（q-1）d=2a₁+（p+q-2）d，
由m+n=p+q可得2a₁+（m+n-2）d=2a₁+（p+q-2）d，即a_m+a_n=a_p+a_q．

点评 本题考查等差数列的性质和通项公式，涉及等差数列性质的证明，属中档题．