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    【题目】底面为菱形的直棱柱

    中，

    分别为棱

    的中点.

    （1）在图中作一个平面

    ，使得

    ，且平面

    .（不必给出证明过程，只要求作出

    与直棱柱

    的截面）.

    （2）若

    ，求平面

    与平面

    的距离

    .

    【答案】（1）见解析;（2）

    .

    【解析】试题分析：（1）作面面平行，实质作线线平行，而线线平行的寻找往往利用平几知识，如三角形中位线、平行四边形性质等，本题中已有

    ,根据对称性在平面

    中寻找另一组平行线，（2）利用向量投影可求两平面之间距离，先根据条件建立恰当直角坐标系，设立各点坐标，解方程组得平面

    的法向量

    ，利用向量数量积求向量

    在

    方向上投影的绝对值，即为平面

    与平面

    的距离

    .

    试题解析：

    （1）如图，取

    的中点

    ，连接

    ，则平面

    即为所求平面

    .

    （2）如图，连接

    交

    于

    ，

    ∵在直棱柱

    中，底面为菱形，

    ∴

    ，

    ∴分别以

    为

    轴，

    为原点建立如图所示空间直角坐标系，

    又∵所有棱长为2，

    ，

    ∴

    ，

    ，

    ，

    ∴

    ，

    ∴

    ，

    ，

    设

    是平面

    的一个法向量，则

    ，即

    ，

    令

    得

    ，

    ，

    ∴点

    到平面

    的距离

    ，

    ∴平面

    与平面

    的距离

    .

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