Question

已知函数f（x）=

1

3

x³-x²+ax+b的图象在点P（0，f（0））处的切线方程为y=3x-2．
（1）求实数a，b的值；   
（2）若对于区间[-2，2]上任意两个自变量的值x₁，x₂都有|f（x₁）-f（x₂）|≤c，求实数c的最小值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）利用导数的几何意义求出切线的斜率，点斜式求得切线方程，和已知的切线方程比较系数可得a、b值；
（2）由题意，对于定义域内任意自变量都使得|f（x₁）-f（x₂）|≤c，可以转化为求函数在定义域下的最值即可得解．

解答： 解：（1）∵f（0）=b，∴点P （0，b）．∵f′（x）=x²-2x+a，
∴函数f（x）的图象在点P处的切线斜率为 a，故此处的切线方程为  y-b=a （x-0），
即 y=ax+b．又已知此处的切线方程为y=3x-2，∴a=3，b=-2．
（2）根据（1）可得f（x）=

1

3

x³-x²+3x-2；
求导得f′（x）=x²-2x+3=（x-1）²+2
∴f′（x）＞0在[-2，2]上恒成立，故f（x）为增函数，
f（-2）=2，f（2）=-2，
∴f（x）_max=f（2）=

8

3

，f（x）_min=f（-2）=-

44

3

，
∴要使对于区间[-2，2]上任意两个自变量的值x₁，x₂都有|f（x₁）-f（x₂）|≤c，
∴|f（x₁）-f（x₂）|≤|f（x）_max-f（x）_min|=

52

3

，
故c的最小值为

52

3

．

点评：本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性和最值，考查了数学中等价转化的思想的运用能力，属中档题．