Question

20．已知抛物线C：y²=2px与点N（-2，2），过C的焦点且斜率为2的直线与C交于A、B两点，若NA⊥NB，则p=（　　）

• A． -2
• B． 2
• C． -4
• D． 4

Answer 1

分析 设出直线方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合NA⊥NB，得到方程，即可求出p的值．

解答 解：设直线方程为y=2（x-$\frac{p}{2}$），A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
代入抛物线方程，整理得4x²-6px+p²=0，
∴x₁+x₂=$\frac{3}{2}$p，x₁x₂=$\frac{1}{4}$p²，
由NA⊥NB，
得（x₁+2，y₁-2）•（x₂+2，y₂-2）=（x₁+2）（x₂+2）+[2（x₁-$\frac{p}{2}$）-2][2（x₂-$\frac{p}{2}$）-2]=0，
代入整理得3p²-4p-32=0，
∵p＞0，∴解得p=4．
故选D．

点评 本题考查直线与抛物线位置关系的运用，考查韦达定理，考查学生的计算能力，属于中档题．