Question

设S_n为数列{a_n}的前n项和,已知a₁≠0,2a_n-a₁=S₁·S_n,n∈N^*.
(1)求a₁,a₂,并求数列{a_n}的通项公式;
(2)求数列{na_n}的前n项和.

Answer 1

(1) a₁=1   a₂=2   a_n=2^n-1  (2) B_n=1+(n-1)·2ⁿ

解:(1)令n=1,得2a₁-a₁=,即a₁=.
因为a₁≠0,所以a₁=1.
令n=2,得2a₂-1=S₂=1+a₂,解得a₂=2.
当n≥2时,由2a_n-1=S_n,2a_n-1-1=S_n-1两式相减,
得2a_n-2a_n-1=a_n,即a_n=2a_n-1.
于是数列{a_n}是首项为1,公比为2的等比数列.
因此,a_n=2^n-1.所以数列{a_n}的通项公式为a_n=2^n-1.
(2)由(1)知,na_n=n·2^n-1.
记数列{n·2^n-1}的前n项和为B_n,
于是B_n=1+2×2+3×2²+…+n×2^n-1,①
2B_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ.②
①-②,得-B_n=1+2+2²+…+2^n-1-n·2ⁿ=2ⁿ-1-n·2ⁿ.
从而B_n=1+(n-1)·2ⁿ.