Question

11．已知向量${\overrightarrow m_1}$=（0，x），${\overrightarrow n_1}$=（1，1），${\overrightarrow m_2}$=（x，0），${\overrightarrow n_2}$=（y²，1）（其中x，y是实数），又设向量$\overrightarrow m$=${\overrightarrow m_1}$+$\sqrt{2}$${\overrightarrow n_2}$，$\overrightarrow n$=${\overrightarrow m_2}$-$\sqrt{2}$${\overrightarrow n_1}$，且$\overrightarrow m$∥$\overrightarrow n$，点P（x，y）的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=kx+1与曲线C交于M、N两点，当|MN|=$\frac{{4\sqrt{2}}}{3}$时，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）由已知求得$\overrightarrow{m}、\overrightarrow{n}$的坐标，结合$\overrightarrow m$∥$\overrightarrow n$列式化简求得曲线C的方程；
（2）联立直线方程与椭圆方程，化为（1+2k²）x²+4kx=0，再由弦长公式求得k，则直线方程可求．

解答 解：（Ⅰ）由已知$\overrightarrow m$=${\overrightarrow m_1}$+$\sqrt{2}$${\overrightarrow n_2}$=（0，x）+（$\sqrt{2}{y}^{2}$，$\sqrt{2}$）=（$\sqrt{2}{y}^{2}$，x+$\sqrt{2}$），
$\overrightarrow n$=${\overrightarrow m_2}$-$\sqrt{2}$${\overrightarrow n_1}$=（x，0）-（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）=（x-$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$），
∵$\overrightarrow m$∥$\overrightarrow n$，∴-2y²-（x+$\sqrt{2}$）（x-$\sqrt{2}$）=0．
即-2y²-x²+2=0．
∴所求曲线C的方程是：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去y得：（1+2k²）x²+4kx=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则△=16k²≥0．
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-4k}{1+2{k}^{2}}$．x₁x₂=0．
∴|MN|=$\sqrt{1+{k}^{2}}|{x}_{1}-{x}_{2}|=\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{（\frac{-4k}{1+2{k}^{2}}）^{2}}=\frac{4}{3}\sqrt{2}$，
解得：k=±1．
∴所求直线的方程为x-y+1=0或x+y-1=0．

点评 本题考查直线方程和曲线方程的求法，考查椭圆性质的应用，体现了“设而不求”的解题思想方法，是中档题．