Question

17．已知P（x₀，y₀）是抛物线y²=2px（p＞0）上的一点，过P点的切线方程的斜率可通过如下方式求得，在y²=2px两边同时对x求导，得2yy'=2p，则$y'=\frac{p}{y}$，所以过点P的切线的斜率$k=\frac{p}{y_0}$，试用上述方法求出双曲线${x^2}-\frac{y^2}{2}=1$在$P（{\sqrt{2}，\sqrt{2}}）$处的切线方程为（　　）

• A． 2x-y=0
• B． $2x-y-\sqrt{2}=0$
• C． $2x-3y-\sqrt{2}=0$
• D． $x-y-\sqrt{2}=0$

Answer 1

分析 把双曲线的解析式变形后，根据题中的例子，两边对x求导且解出y′，把P的坐标代入求出切线的斜率，然后根据切点P的坐标和求出的斜率，写出切线方程即可．

解答 解：由双曲线${x^2}-\frac{y^2}{2}=1$，得到y²=2x²-2，
根据题意，两边同时对x求导得：2yy′=4x，解得y′=$\frac{2x}{y}$，
由$P（{\sqrt{2}，\sqrt{2}}）$，得到过P得切线的斜率k=2，
则所求的切线方程为：y-$\sqrt{2}$=2（x-$\sqrt{2}$），即2x-y-$\sqrt{2}$=0．
故选：B．

点评 此题考查了求导法则的运用，以及根据一点和斜率会写出直线的方程．本题的类型是新定义题，此类题的作法是认真观察题中的例题，利用类比的方法求出所求的切线方程．