Question

9．函数f（x）=-x³+3x²-ax-2a，若存在唯一的正整数x₀，使得f（x₀）＞0，则a的取值范围是$[\frac{2}{3}，1）$．

Answer 1

分析 由题意设g（x）=-x³+3x²、h（x）=a（x+2），求出g′（x）并化简，由导数与函数单调性的关系，判断出g（x）的单调性、并求出特殊函数值，在同一个坐标系中画出它们的图象，结合条件由图象列出满足条件的不等式组，即可求出a的取值范围．

解答 解：由题意设g（x）=-x³+3x²，h（x）=a（x+2），
则g′（x）=-3x²+6x=-3x（x-2），
所以g（x）在（-∞，0）、（2，+∞）上递减，在（0，2）上递增，
且g（0）=g（3）=0，g（2）=-2³+3•2²=4，
在一个坐标系中画出两个函数图象如图：
因为存在唯一的正整数x₀，使得f（x₀）＞0，
即g（x₀）＞h（x₀），
所以由图得x₀=2，则$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{g（2）＞h（2）}\\{g（1）≤h（1）}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{4＞4a}\\{-1+3≤3a}\end{array}\right.$，
解得23≤a＜1，
所以a的取值范围是$[\frac{2}{3}，1）$，
故答案为：$[\frac{2}{3}，1）$．

点评 本题考查了函数图象以及不等式整数解问题，导数与函数单调性的关系，解题的关键是将问题转化为两个函数图象交点问题，考查转化思想、数形结合思想．