Question

9．已知点A，B，C的坐标分别是A（1，$\frac{6}{5}$），B（sinα，cosα），C（0，$\frac{1}{5}$）其中α∈（-π，0），请问：是否存在实数λ，使得$\overrightarrow{AB}$=λ$\overrightarrow{CA}$成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 根据平面向量的坐标表示与共线定理，列出不等式组，利用同角的三角函数关系，即可求出λ的值．

解答 解：∵A（1，$\frac{6}{5}$），B（sinα，cosα），C（0，$\frac{1}{5}$），其中α∈（-π，0）；
∴$\overrightarrow{AB}$=（sinα-1，cosα-$\frac{6}{5}$），
$\overrightarrow{CA}$=（1，1）；
若$\overrightarrow{AB}$=λ$\overrightarrow{CA}$，则$\left\{\begin{array}{l}{sinα-1=λ}\\{cosα-\frac{6}{5}=λ}\end{array}\right.$；
即sinα-cosα=-$\frac{1}{5}$，
又sin²α+cos²α=1，
∴解得sinα=-$\frac{4}{5}$，cosα=-$\frac{3}{5}$，
∴λ=-$\frac{9}{5}$．
即存在λ=-$\frac{9}{5}$，使$\overrightarrow{AB}$=λ$\overrightarrow{CA}$成立．

点评 本题考查了平面向量的坐标表示与共线定理的应用问题，也考查了同角的三角函数关系的应用问题，是基础题目．