Question

3．直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=AA₁，∠ACB=90°，则直线A₁C与平面A₁BC₁所成的角的大小为（　　）

• A． 30°
• B． 60°
• C． 90°
• D． 120°

Answer 1

分析 由已知证得平面A₁BC₁⊥平面BB₁C₁C，连接B₁C交BC₁于O，则CO⊥BC₁，可得CO⊥平面A₁BC₁．即∠CA₁O为直线A₁C与平面A₁BC₁所成的角．然后求解直角三角形得答案．

解答 解：如图，

∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，∴CC₁⊥A₁C₁，又，∠ACB=90°，
∴A₁C₁⊥B₁C₁，则A₁C₁⊥平面BB₁C₁C，又A₁C₁?平面A₁BC₁，
∴平面A₁BC₁⊥平面BB₁C₁C，
连接B₁C交BC₁于O，则CO⊥BC₁，∴CO⊥平面A₁BC₁．
∴∠CA₁O为直线A₁C与平面A₁BC₁所成的角．
设AC=BC=AA₁=a，
则${A}_{1}C=\sqrt{2}a$，CO=$\frac{1}{2}{B}_{1}C=\frac{\sqrt{2}a}{2}$，
在Rt△A₁OC中，sin$∠C{A}_{1}O=\frac{CO}{{A}_{1}C}=\frac{1}{2}$，
∴直线A₁C与平面A₁BC₁所成的角的大小为30°．
故选：A．

点评 本题考查直线与平面所称的角，关键是找出线面角，是中档题．