Question

11．已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，其中a²=2bc．
（1）若a=b，求cosA的值；
（2）设$A=\frac{π}{2}$，且$b=\sqrt{6}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用已知可求a=b，c=$\frac{a}{2}$，利用余弦定理即可得解cosA的值．
（2）利用已知可求a²=2$\sqrt{6}$c，进而利用勾股定理可得c²-2$\sqrt{6}$c+6=0，解得c的值，利用直角三角形的面积公式即可计算得解．

解答 解：（1）在△ABC中，∵a²=2bc，a=b，
∴可得：c=$\frac{a}{2}$，
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{{a}^{2}+（\frac{a}{2}）^{2}-{a}^{2}}{2×a×\frac{a}{2}}$=$\frac{1}{4}$．
（2）∵a²=2bc，$A=\frac{π}{2}$，且$b=\sqrt{6}$，
∴a²=2$\sqrt{6}$c，
∵由勾股定理可得：b²+c²=a²，可得：6+c²=a²=2$\sqrt{6}$c，整理可得：c²-2$\sqrt{6}$c+6=0，
∴解得：c=$\sqrt{6}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bc=$\frac{1}{2}×\sqrt{6}×\sqrt{6}$=3．

点评 本题主要考查了余弦定理，勾股定理，直角三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．