Question

6．极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C₁的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ），曲线C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=-sinα}\end{array}\right.$ （α为参数）．
（1）求曲线C₁，C₂的直角坐标方程；
（2）直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）与曲线C₁交于A，B两点，与y轴交于E，求|EA|+|EB|的值．

Answer 1

分析 （1）极坐标方程两边同乘ρ，再用极坐标和直角坐标互化方程组$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$和$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}}\\{tanθ=\frac{y}{x}}\end{array}\right.$转化为x，y的关系式，即可．
（2）利用直线的参数方程中参数的几何意义求解．将参数方程代入曲线C₁，得关于t的一元二次方程，再结合韦达定理求解|EA|+|EB|所表达出的韦达定理的结构式．因E在曲线C₁（圆）内，故|EA|+|EB|=|AB|，也可以直接转化为直角坐标系下普通方程，求直线与圆的弦长|AB|．

解答 解：（1）曲线C₁的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ），
两边同乘乘ρ，得ρ²=2（ρcosθ+ρsinθ）
∵$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$  且 ρ²=x²+y²
∴曲线C₁的直角坐标方程为 x²+y²=2x+2y 即（x-1）²+（y-1）²=2   …2分
曲线C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=-sinα}\end{array}\right.$ （α为参数）则$\left\{\begin{array}{l}{cosα=\frac{x}{2}}\\{sinα=-y}\end{array}\right.$ 
∵cos²α+sin²α=1
∴曲线C₂的直角坐标方程为 $\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$   …4分
（2）解法一：
直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）与y轴交点为E（0，1）…5分
直线l与曲线C₁交于A，B两点，由直线l参数t的意义
知|EA|+|EB|=|t_A|+|t_B|…6分
将直线l参数方程代入曲线C₁直角坐标方程
得：$（\frac{1}{2}t-1）^{2}+（1+\frac{\sqrt{3}}{2}t-1）^{2}=2$ 即 t²-t-1=0
∴t_A+t_B=1，t_At_B=-1   …8分
因为E（0，1）在曲线C₁内，
∴|EA|+|EB|=|t_A|+|t_B|=|t_A-t_B|
=$\sqrt{（{t}_{A}+{t}_{B}）^{2}-4{t}_{A}{t}_{B}}$
=$\sqrt{5}$．         …10分
解法二：直线l的普通方程为$y=\sqrt{3}x+1$    …5分
由（1）知曲线C₁是以（1，1）为圆心，以$\sqrt{2}$为半径的圆．
因E在圆C₁内，∴|EA|+|EB|=|AB|…6分
又∵圆心（1，1）到直线l的距离d=$\frac{|\sqrt{3}-1+1|}{\sqrt{{\sqrt{3}}^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$   …8分
∴|AB|=$2\sqrt{{\sqrt{2}}^{2}-（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴|EA|+|EB|=$\sqrt{5}$．     …10分

点评 考查极坐标方程化直角坐标方程，参数方程化普通方程，直线参数方程的意义．考查方程思想．属于中档题．