Question

4．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），平行于OM的直线l在y轴上的截距为m（m≠0），l交椭圆于A、B两个不同点．
（1）求椭圆的标准方程以及m的取值范围；
（2）求证直线MA，MB与x轴始终围成一个等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）根据题意，将M点代入即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程，求得直线l的方程，代入椭圆方程，由△＞0即可求得m的取值范围；
（2）设直线MA、MB的斜率分别为k₁，k₂，只需证明k₁+k₂=0即可，根据直线的斜率公式及韦达定理即可求得答案．

解答 解：（1）设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），且a=2b，
椭圆经过点M（2，1），则$\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}=1$，解得：a=2$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{2}$，
∴椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；…（3分）
∵直线l平行于OM，且在y轴上的截距为m  又k_OM=$\frac{1}{2}$，
∴l的方程为：y=$\frac{1}{2}$x+m，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：x²+2mx+2m²-4=0，…（4分）
∵直线l与椭圆交于A、B两个不同点，△=（2m）²-4（2m²-4）＞0，解得：-2＜m＜0或0＜m＜2，
∴m的取值范围是（-2，0）∪（0，2）；…（6分）
（2）证明：设直线MA、MB的斜率分别为k₁，k₂，
要证直线MA，MB与x轴始终围成一个等腰三角形．只需证明k₁+k₂=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），l的方程为：y=$\frac{1}{2}$x+m，则k₁=$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}-2}$，k₂=$\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}-2}$．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：x²+2mx+2m²-4=0
∴x₁+x₂=-2m，x₁x₂=2m²-4，
而k₁+k₂=$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}-2}$+$\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}-2}$=$\frac{（{y}_{1}-1）（{x}_{2}-2）+（{y}_{2}-1）（{x}_{1}-2）}{（{x}_{1}-2）（{x}_{2}-2）}$，
其分子=（$\frac{1}{2}$x₁+m-1）（x₂-2）+（$\frac{1}{2}$x₂+m-1）（x₁-2）
=x₁x₂+（m-2）（x₁+x₂）-4（m-1）=2m²-4-2m（m-2）-4m+4=0，
∴k₁+k₂=0．
故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理、斜率计算公式、等腰三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．