Question

12．从集合A={1，2，3，…，2n+1}中，任取m（m≤2n+1，m，n∈N^*）个元素构成集合A_m，若A_m的所有元素之和为偶数，则称A_m为A的偶子集，其个数记为f（m）；若A_m的所有元素之和为偶数，则称A_m为A的奇子集，其个数记为g（m），令F（m）=f（m）-g（m）
（1）当n=3时，求F（1），F（2），F（3）的值；
（2）求F（m）．

Answer 1

分析 （1）当n=3时，集合A={1，2，3，4，5，6，7}，当m=1时，求出f（1）=3，g（1）=4，从而求出F（1）；当m=2时，求出f（2）=9，g（2）=12，从而求出F（2）；当m=3时，求出f（3）=19，g（3）=16，从而求出F（3）．
（2）A中共有n个偶数，n+1个奇数，偶子集的个数f（m）=${C}_{n}^{m}{C}_{n+1}^{0}+{C}_{n}^{n-2}{C}_{n+1}^{2}$+${C}_{n}^{m-4}{C}_{n+1}^{4}$+…+${{C}_{n}^{1}C}_{n+1}^{m-1}$，奇子集的个数g（m）=${C}_{n}^{m-1}{C}_{n+1}^{1}+{C}_{n}^{n-3}{C}_{n+1}^{3}$+${C}_{n}^{m-5}{C}_{n+1}^{5}$+…+${C}_{n}^{0}{C}_{n+1}^{m}$，从而F（m）=${C}_{n}^{m}{C}_{n+1}^{0}-{C}_{n}^{m-1}{C}_{n+1}^{1}+{C}_{n}^{m-2}{C}_{n+1}^{2}$-${C}_{n}^{m-3}{C}_{n+1}^{3}$+…+${C}_{n}^{1}{C}_{n+1}^{m-1}-{C}_{n}^{0}{C}_{n+1}^{m}$，再求出（1+x）ⁿ（1-x）ⁿ⁺¹中xⁿ的系数和（1+x）ⁿ（1-x）ⁿ⁺¹=（1-x）（1+x）ⁿ（1-x）ⁿ=（1-x）（1-x²）ⁿ的展开式，由此能求出F（m）．

解答 解：（1）当n=3时，集合A={1，2，3，4，5，6，7}，
当m=1时，偶子集有{2}，{4}，{6}，奇子集有{1}，{3}，{5}，{7}，
f（1）=3，g（1）=4，∴F（1）=-1．
当m=2时，偶子集有${C}_{3}^{2}+{C}_{4}^{2}$（2个数全是偶数或全是奇数），f（2）=9，
奇子集有${C}_{3}^{1}{C}_{4}^{1}$（1偶1奇），g（2）=12，∴F（2）=-3．
当m=3时，偶子集有${C}_{3}^{3}+{C}_{3}^{1}{C}_{4}^{2}$（3个数全是偶数或1偶2奇），f（3）=19，
奇子集有${C}_{3}^{2}{C}_{4}^{1}$+${C}_{4}^{3}$（2偶1奇或3奇），g（3）=16，∴F（3）=3．
（2）A中共有n个偶数，n+1个奇数，此时：
偶子集的个数f（m）=${C}_{n}^{m}{C}_{n+1}^{0}+{C}_{n}^{n-2}{C}_{n+1}^{2}$+${C}_{n}^{m-4}{C}_{n+1}^{4}$+…+${{C}_{n}^{1}C}_{n+1}^{m-1}$，
奇子集的个数g（m）=${C}_{n}^{m-1}{C}_{n+1}^{1}+{C}_{n}^{n-3}{C}_{n+1}^{3}$+${C}_{n}^{m-5}{C}_{n+1}^{5}$+…+${C}_{n}^{0}{C}_{n+1}^{m}$，
∴F（m）=${C}_{n}^{m}{C}_{n+1}^{0}+{C}_{n}^{m-2}{C}_{n+1}^{2}$+${C}_{n}^{m-4}{C}_{n+1}^{4}$+…+${C}_{n}^{4}{C}_{n+1}^{m-1}$-（${C}_{n}^{m-1}{C}_{n+1}^{1}+{C}_{n}^{m-3}{C}_{n+1}^{3}$+…+${C}_{n}^{0}{C}_{n+1}^{m}$）
=${C}_{n}^{m}{C}_{n+1}^{0}-{C}_{n}^{m-1}{C}_{n+1}^{1}+{C}_{n}^{m-2}{C}_{n+1}^{2}$-${C}_{n}^{m-3}{C}_{n+1}^{3}$+…+${C}_{n}^{1}{C}_{n+1}^{m-1}-{C}_{n}^{0}{C}_{n+1}^{m}$，
一方面，（1+x）ⁿ（1-x）ⁿ⁺¹=（${C}_{n}^{0}+{C}_{n}^{1}x+…+{C}_{n}^{n}{x}^{n}$）（${C}_{n+1}^{0}-{C}_{n+1}^{1}x+…+（-1）^{n+1}{C}_{n+1}^{n+1}{x}^{n+1}$），
∴（1+x）ⁿ（1-x）ⁿ⁺¹中xⁿ的系数为：
${C}_{n}^{m}{C}_{n+1}^{0}-{C}_{n}^{m-1}{C}_{n+1}^{1}$+${{C}_{n}^{m-2}C}_{n+1}^{2}$-${C}_{n}^{m-3}{C}_{n+1}^{3}+…+{C}_{n}^{1}{C}_{n+1}^{m-1}-{C}_{n}^{0}{C}_{n+1}^{m}$，
另一方面，（1+x）ⁿ（1-x）ⁿ⁺¹=（1-x）（1+x）ⁿ（1-x）ⁿ=（1-x）（1-x²）ⁿ的展开式中，
当m为奇数时，为得到x^m，则应由（1-x）提供因数-x，（1-x²）ⁿ提供x^m-1，
∴x^m的系数为（-1）（-1）${\;}^{\frac{m-1}{2}}$C${\;}_{n}^{\frac{m-1}{2}}$=（-1）${\;}^{\frac{m+1}{2}}$${C}_{n}^{\frac{m-1}{2}}$，
故F（m）=（-1）${\;}^{\frac{m+1}{2}}$${C}_{n}^{\frac{m-1}{2}}$．
当m为偶数时，为得到x^m，则应由（1-x）提供因数1，（1-x²）ⁿ提供x^m，
∴x^m的系数为$（-1）^{\frac{m}{2}}{C}_{n}^{\frac{m}{2}}$，∴F（m）=$（-1）^{\frac{m}{2}}{C}_{n}^{\frac{m}{2}}$．
综上，F（m）=$\left\{\begin{array}{l}{（-1）^{\frac{m+1}{2}{C}_{n}^{\frac{m-1}{2}}，n为奇数}}\\{（-1）^{\frac{m}{2}{C}_{n}^{\frac{m}{2}}，n为偶数}}\end{array}\right.$．

点评 本题考查函数值的求法，考查集合、二项式定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想，是难题．