Question

5．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{3}=1（a＞\sqrt{3}）$的中心、左焦点、左顶点、左准线与x轴的交点依次为O，F，G，H，则$\frac{FG}{OH}$取得最大值时a的值为2．

Answer 1

分析 根据椭圆的标准方程，结合焦点坐标和准线方程的公式，可得|FG|=a-c，|OH|=$\frac{{a}^{2}}{c}$，则$\frac{FG}{OH}$=$\frac{a-c}{\frac{{a}^{2}}{c}}=\frac{ac-{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{c}{a}-（\frac{c}{a}）^{2}$，配方后利用二次函数的性质求出使$\frac{FG}{OH}$取得最大值时的$\frac{c}{a}$的值，则a可求．

解答 解：∵椭圆方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{3}=1（a＞\sqrt{3}）$，
∴椭圆的左焦点是F（-c，0），左顶点是G（-a，0），左准线方程为x=$-\frac{{a}^{2}}{c}$，其中c²=a²-3．
由此可得H（$-\frac{{a}^{2}}{c}$，0），|FG|=a-c，|OH|=$\frac{{a}^{2}}{c}$，
∴$\frac{FG}{OH}$=$\frac{a-c}{\frac{{a}^{2}}{c}}=\frac{ac-{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{c}{a}-（\frac{c}{a}）^{2}$=-$（\frac{c}{a}-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{1}{4}$，
∵$\frac{c}{a}$∈（0，1），
∴当且仅当$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$时，$\frac{FG}{OH}$取得最大值为$\frac{1}{4}$，此时$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{{a}^{2}-3}{{a}^{2}}=\frac{1}{4}$，解得a=2．
故答案为：2．

点评 本题根据椭圆的焦点坐标和准线方程，求线段比值的最大值，着重考查了椭圆的基本概念的简单性质，是中档题．