Question

17．过双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$的右顶点A作斜率为l的直线l，若l与双曲线C的两条渐近线分别相交于点M，N，且|AM|=|MN|，则双曲线C的离心率是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• B． $\sqrt{5}$
• C． $\frac{\sqrt{10}}{3}$
• D． $\sqrt{10}$

Answer 1

分析 先由双曲线线方程可得A的坐标和直线l的方程与双曲线的渐近线联立求得B和C的横坐标，进而根据|AM|=|MN|求得b的值，进而根据c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$求得c，最后根据离心率公式答案可得．

解答 解：由题可知A（2，0），
所以直线l的方程为y=x-2．
两条渐近线方程为y=-$\frac{b}{2}$x或y=$\frac{b}{2}$x
联立y=x-2和y=-$\frac{b}{2}$x得M的横坐标为x_M=$\frac{4}{2+b}$，
同理得N的横坐标为x_N=$\frac{4}{2-b}$．
∵|AM|=|MN|，
∴M为AN中点，
有2x_M=x_A+x_N，
即有2×$\frac{4}{2+b}$=2+$\frac{4}{2-b}$．
解得b=6或0（舍去0）．
∴c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{4+36}$=2$\sqrt{10}$，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{10}}{2}$=$\sqrt{10}$．
故选：D．

点评 本题考题双曲线性质的综合运用，解题过程中要注意根与系数的关系的运用．