Question

6．（1）试判断函数f（x）=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{x}-1}$的奇偶性．
（2）已知关于x的函数g（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x²-ax+3a），其中a是实常数．若g（x）在区间[2，+∞）上是减函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由函数的解析式可得函数的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称．再根据f（-x）=-f（x），可得f（x）为奇函数．
（2）由题意可得h（x）=x²-ax+3a在区间[2，+∞）上是增函数，且h（x）=x²-ax+3a＞0恒成立，故有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{2}≤2}\\{h（2）4-2a+3a＞0}\end{array}\right.$，由此求得实数a的取值范围．

解答 解：（1）∵函数f〔x）=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{x}-1}$，∴2^x-1≠0，即函数的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称．
∵f（-x）=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{-x}-1}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{{2}^{x}}{{1-2}^{x}}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{{-2}^{x}+1-1}{{2}^{x}-1}$=-（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{x}-1}$ ）=-f（x），故f（x）为奇函数．
（2）已知关于x的函数g（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$〔x²-ax+3a），其中a是实常数．
若g（x）在区间[2，+∞）上是减函数，则h（x）=x²-ax+3a在区间[2，+∞）上是增函数，且h（x）=x²-ax+3a＞0恒成立．
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{2}≤2}\\{h（2）4-2a+3a＞0}\end{array}\right.$，求得-4＜a≤4，即实数a的取值范围为（-4，4]．

点评 本题主要考查函数的奇偶性的性质，利用单调性求函数的最值，复合函数的单调性，函数的恒成立问题，属于中档题．