Question

1．若函数y=log_a（x-1）+1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，则过点A且到原点的距离等于2的直线方程为x-2=0或3x+4y-10=0．

Answer 1

分析 由log_a1=0得x-1=1，求出x的值以及y的值，即求出定点A的坐标．当直线的斜率k不存在时，直线方程x=2，它到原点的距离是2，成立；当直线的斜率k存在时，设直线方程为y-1=k（x-2），整理，得kx-y-2k+1=0，由直线与原点的距离为2，解得k，由此能得到所求的直线方程．

解答 解：∵log_a1=0，
∴当x-1=1，即x=2时，y=1，
则函数y=log_a（x-1）+1的图象恒过定点 A（2，1）．
∴①当直线的斜率k不存在时，直线方程x=2，它到原点的距离是2，成立；
②当直线的斜率k存在时，设直线方程为y-1=k（x-2），整理，得kx-y-2k+1=0，
∵直线与原点的距离为2，
∴$\frac{|-2k+1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，解得k=-$\frac{3}{4}$，
∴直线为3x+4y-10=0．
故所求的直线方程为：x=2或3x+4y-10=0．
故答案为：x=2或3x+4y-10=0．

点评 本题考查对数函数的性质和特殊点，主要利用log_a1=0，属于基础题．解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的应用．易错点是容易忽视直线的斜率不存在的情况．