Question

13．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a²，b²，c²成等差数列，则sinB的最大值是$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 由等差数列的定义和性质可得2b²=a² +c² ，再由余弦定理可得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{4ac}$，利用基本不等式可得cosB≥$\frac{1}{2}$，从而求得角B的取值范围，进而利用正弦函数的单调性即可得解．

解答 解：由题意可得2b²=a² +c² ，由余弦定理可得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{4ac}$≥$\frac{1}{2}$，
当且仅当a=c时，等号成立．
又 0＜B＜π，
∴0＜B≤$\frac{π}{3}$，
∵sinB在（0，$\frac{π}{3}$]单调递增，
∴可得sinB的最大值是sin$\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题主要考查余弦定理、等差数列的定义和性质，以及基本不等式的应用，求得cosB≥$\frac{1}{2}$，是解题的关键，属于基础题．